4.1 Bref retour sur le postulat de la relation linéaire
Vérifier le postulat de la linéarité consiste à évaluer si deux variables quantitatives varient dans le même sens ou bien en sens contraire. Toutefois, la relation entre deux variables quantitatives n’est pas forcément linéaire. En guise d’illustration, la figure 4.1 permet de distinguer quatre types de relations :
Le cas a illustre une relation linéaire positive entre les deux variables puisqu’elles vont dans le même sens. Autrement dit, quand les valeurs de X augmentent, celles de Y augmentent aussi. En guise d’exemple, pour les secteurs de recensement d’une métropole donnée, il est fort probable que le coût moyen du loyer soit associé positivement avec le revenu médian des ménages. Graphiquement parlant, il est clair qu’une droite dans ce nuage de points résumerait efficacement la relation entre ces deux variables.
Le cas b illustre une relation linéaire négative entre les deux variables puisqu’elles vont en sens inverse. Autrement dit, quand les valeurs de X augmentent, celles de Y diminuent, et inversement. En guise d’exemple, pour les secteurs de recensement d’une métropole donnée, il est fort probable que le revenu médian des ménages soit associé négativement avec le taux de chômage. De nouveau, une droite résumerait efficacement cette relation.
Pour le cas c, il y a une relation entre les deux variables, mais qui n’est pas linéaire. Le nuage de points entre les deux variables prend d’ailleurs une forme parabolique qui traduit une relation curvilinéaire. Concrètement, nous observons une relation positive jusqu’à un certain seuil, puis une relation négative.
Pour le cas d, la relation entre les deux variables est aussi curvilinéaire; d’abord négative, puis positive.
Figure 4.1: Relations linéaires et curvilinéaires entre deux variables continues
Prenons un exemple concret pour illuster le cas c. Dans une étude portant sur l’équité environnementale et la végétation à Montréal, Pham et al. (2012) ont montré qu’il existe une relation curvilinéaire entre l’âge médian des bâtiments résidentiels (axe des abscisses) et les couvertures végétales (axes des ordonnées) :
- La couverture de la végétation totale et celle des arbres augmentent quand l’âge médian des bâtiments croît jusqu’à atteindre un pic autour de 60 ans (autour de 1950). Nous pouvons supposer que les secteurs récemment construits, surtout ceux dans les banlieues, présentent des niveaux de végétation plus faibles. Au fur et à mesure que le quartier vieillit, les arbres plantés lors du développement résidentiel deviennent matures — canopée plus importante –, d’où l’augmentation des valeurs de la couverture végétale totale et de celle des arbres.
- Par contre, dans les secteurs développés avant les années 1950, la densité du bâti est plus forte, laissant ainsi moins de place pour la végétation, ce qui explique une diminution des variables relatives à la couverture végétale (figure 4.2).
Figure 4.2: Exemples de relations curvilinéaires
Dans les sous-sections suivantes, nous décrivons deux statistiques descriptives et exploratoires – la covariance (section 4.2) et la corrélation (section 4.3) – utilisées pour évaluer la relation linéaire entre deux variables continues (cas a et b à la figure 4.1). Ces deux mesures permettent de mesurer le degré d’association entre deux variables, sans que l’une soit la variable dépendante (variable à expliquer) et l’autre, la variable indépendante (variable explicative). Puis, nous décrivons la régression linéaire simple (section 4.4) qui permet justement de prédire une variable dépendante (Y) à partir d’une variable indépendante (X).