11.5 Splines avancées

Jusqu’ici, nous avons seulement présenté le cas le plus simple pour lequel une spline est construite à partir d’une seule variable dépendante continue, mais les splines peuvent être utilisées dans de nombreux autres contextes et ont une incroyable flexibilité. Nous détaillons ici trois exemples fréquents : les splines cycliques, les splines variant par groupe et les splines multivariées. Pour une description complète des effets non linéaires possibles avec mgcv, n’hésitez pas à consulter sa documentation.

Tableau 11.1: Exemples de splines avancées

Type	Code	Description
spline cyclique	s(x, bs = 'cc')	Une spline cyclique doit être utilisée si le 0 de la variable X correspond également à sa valeur maximum. Un bon exemple est le temps dans une journée car 24 h est équivalent à 0 h
spline variant par groupe	s(x, by = x2)	Une spline variant par groupe permet d’ajuster une spline à une variable X1 différente pour chaque groupe identifié par une variable qualitative X2
spline bivariée	s(x1,x2)	Une spline bivariée est utilisée pour modéliser l’interaction non linéaire de deux variables X1 et X2 s’exprimant dans la même unité (typiquement des coordonnées géographiques carthésienne)
spline d’interaction complète	te(x1,x2)	Une spline d’interaction permet de modéliser l’interaction non linéaire de deux variables continues pouvant s’exprimer dans des unités différentes, elle combine les effets spécifique de chacune de des deux variables et leur interaction
spline d’interaction partielle	s(x1) + s(x2) + ti(x1,x2)	Une spline d’interaction partielle permet de distinguer les effets non linéaires individuels de deux variables de leur interaction non linéaire

11.5.1 Splines cycliques

Une spline cyclique est une extension d’une spline classique dont les bases aux extrémités sont spécifiées de telle sorte que la valeur au départ de la spline soit la même que celle à la fin de la spline. Cela permet à la spline de former une boucle, ce qui est particulièrement intéressant pour des variables dont le 0 et la valeur maximale correspondent en réalité à la même valeur. L’exemple le plus parlant est certainement le cas d’une variable représentant la mesure d’un angle en degrés. Les valeurs de 0 et 360 sont identiques et les valeurs 350 et 10 sont toutes les deux à une distance de 10 degrés de 0. Un autre exemple possible serait de considérer l’heure comme une variable continue; dans ce cas, 24 h et 0 h signifient la même chose.

Prenons un exemple concret. Nous souhaitons modéliser la concentration de dioxyde d’azote (NO₂) à Paris, mesurée par un ensemble de stations fixes. Nous pourrions nous attendre à ce que le NO₂ suive chaque jour un certain patron. Concrètement, à proximité d’axes routiers majeurs, nous nous attendons à observer des pics suivant les flux pendulaires. À la figure 11.13, nous retrouvons bien les deux pics attendus correspondant aux heures de pointe du matin et du soir. Aussi, tel qu’indiqué par la ligne rouge, la valeur prédite par la spline est la même à 24 h et à 0 h.

Figure 11.13: Spline cyclique pour modéliser la concentration de dioxyde d’azote

11.5.2 Splines par groupe

Tel qu’abordé dans les chapitres précédents, il arrive régulièrement que les observations appartiennent à différents groupes. Dans ce cas de figure, nous pouvons être amené à vérifier si la relation décrite par une spline est identique pour chacun des groupes d’observations. Il s’agit alors d’ajuster une spline différente par groupe. Dans l’exemple précédent, chaque valeur de NO₂ a été mesurée par une station fixe de mesure spécifique. Compte tenu du fait que l’environnement autour de chaque station est particulier, nous pourrions s’attendre à ce que les valeurs de NO₂ ne présentent pas exactement les mêmes patrons journaliers pour chaque station.

À la figure 11.14, il est possible de constater que le NO₂ suit globalement le même patron temporel pour l’ensemble des stations à l’exception de trois d’entres-elles. Il s’agit en réalité de stations situées dans des secteurs ruraux de la région parisienne, et donc moins impactées par le trafic routier.

Figure 11.14: Spline cyclique variant par groupe

11.5.3 Splines multivariées et splines d’interaction

Jusqu’ici, nous n’avons considéré que des splines ne s’appliquant qu’à une seule variable indépendante; cependant, il est possible de construire des splines multivariées s’ajustant simultanément sur plusieurs variables indépendantes. L’objectif est alors de modéliser les potentielles interactions non linéaires entre les variables indépendantes combinées dans une même spline. Prenons un exemple concret, dans la section sur les modèles GLM, nous avons modélisé la couverture des aires de diffusion (AD) à Montréal par des îlots de chaleur. Parmi les variables indépendantes, nous avons notamment utilisé la distance au centre-ville ainsi que la part de la surface végétalisée des AD. Nous pourrions formuler l’hypothèse que ces deux variables influencent conjointement et de façon non linéaire la proportion de la surface d’îlot de chaleur dans chaque AD. Pour représenter une spline sur plusieurs dimensions, nous utilisons alors une carte de chaleur dont la couleur représente la valeur de la variable dépendante prédite en fonction des deux variables indépendantes.

Il est important de distinguer la spline d’interaction et la spline multivariée. La première est utilisée lorsque les variables indépendantes introduites dans la spline ne sont pas exprimées sur la même échelle et n’évoluent pas conjointement. L’exemple donné ci-dessus avec les variables de végétation et de distance au centre-ville est un exemple de spline d’interaction, la première variable étant exprimée en pourcentage et l’autre en mètres. De plus, ces deux variables ne sont pas conjointes, mais bien distinctes l’une de l’autre. Un cas typique où une spline multivariée serait à privilégier est le cas de l’ajout des coordonnées spatiales dans le modèle. L’emplacement des AD est mesuré par deux variables (coordonnées spatiales x et y) toutes les deux exprimées en mètres évoluant conjointement, au sens où les coordonnées x n’interagissent pas avec les coordonnées y, mais forment à elles deux un espace propre. Au-delà de la problématique de l’échelle des données, il est important de retenir que les splines d’interaction tendent à être davantage pénalisées que les splines multivariées.

La spline d’interaction représentée à la figure 11.15 indique que les AD avec la plus grande proportion de leur surface couverte par des îlots de chaleur sont situées à moins de 25 kilomètres du centre-ville, au-delà de cette distance, cette proportion chute en bas de 0,1, soit 10 % de la surface de l’AD. En revanche, à proximité du centre-ville (moins d’un kilomètre), même les AD disposant d’un fort pourcentage de surface végétalisée sont tout de même marquées par un fort pourcentage de surface couverte par des îlots de chaleur.

Les splines bivariées sont fréquemment utilisées pour capturer un potentiel patron spatial dans les données. En effet, si nous disposons des coordonnées spatiales de chaque observation (x,y), il est possible d’ajuster une spline bivariée sur ces coordonnées, contrôlant ainsi l’effet de l’espace.

Figure 11.15: Spline d’interaction bivariée

Il n’y a pas de limite théorique au nombre de variables qui peuvent être ajoutées dans une spline d’interaction ou multivariée. Notez cependant que plus le nombre de dimensions augmente, plus la fonction à estimer est complexe et plus le volume de données nécessaire est grand et doit couvrir densément l’ensemble de l’espace d’échantillonnage multidimensionnel.