9.4 Inférence dans les modèles GLMM

Une des questions importantes à se poser lorsque nous construisons un modèle est toujours : est-ce que les différents effets présents dans le modèle ont un effet significativement différent de zéro sur la variable dépendante? Cette étape d’inférence est plus compliquée pour les modèles GLMM que dans les modèles GLM à cause de la présence d’effets aléatoires. Ces derniers brouillent le comptage du nombre de paramètres et, par extension, du nombre de degrés de liberté des modèles. Pour un effet aléatoire, il est possible de déterminer que le nombre de degrés de liberté est de 1 puisque nous ajustons un seul paramètre supplémentaire (la variance de cet effet aléatoire). Selon un autre point de vue, il serait possible d’affirmer que le nombre de degrés de liberté est de \(k - 1\) (avec k le nombre de groupes dans cet effet aléatoire), ce que nous utilisons habituellement pour un effet fixe. La vraie valeur du nombre de degrés de liberté se situe quelque part entre ces deux extrêmes. L’enjeu du nombre de degrés de liberté est crucial, car il influence directement l’estimation des valeurs de p pour l’ensemble des coefficients du modèle. Avec un nombre de degrés de liberté plus petit, les valeurs de p sont plus faibles et les effets plus significatifs. Le sujet est d’ailleurs l’objet d’une telle controverse que les auteurs de certains packages comme lme4 (un des packages les plus utilisés pour ajuster des GLMM) ont fait le choix de ne renvoyer aucune valeur de p dans les résultats des modèles. L’article de Bolker et al. (2009) propose une explication détaillée et relativement accessible du problème (en plus d’une excellente introduction aux GLMM) : en se basant sur leurs recommandations, il est possible de séparer le problème de l’inférence dans les GLMM en trois sous problèmes :

  • Quel est le degré de significativité des effets fixes?
  • Quel est le degré de significativité de l’effet aléatoire dans le modèle?
  • Quels sont les degrés de significativité de chaque constante / pente aléatoire?

9.4.1 Inférence pour les effets fixes

Trois approches peuvent être envisagées pour déterminer si un effet fixe est significatif ou non. Elles font appel à trois approches théoriques différentes (test classique, comparaison de modèles et bootstrapping) et peuvent donc donner des résultats différents. À titre exploratoire, il peut être intéressant de toutes les tester, mais certaines peuvent être préférées en fonction de votre champ de recherche.

9.4.1.1 Test classique

Nous avons vu, pour les modèles LM et GLM, que les valeurs de p sont calculées à partir de scores obtenus en divisant les coefficients par leurs erreurs standards. Une approche similaire peut être utilisée pour les modèles GLMM. Cependant, la question du nombre de degrés de liberté à utiliser reste un problème. L’approche la plus flexible est certainement l’approximation par la méthode Satterthwaite proposant une estimation de ce nombre de degrés de liberté et, par extension, des valeurs de p.

9.4.1.2 Rapports de vraisemblance

Si le modèle comprend suffisamment d’observations (par suffisamment, comprenez au moins une centaine d’observations par paramètre), il est également possible d’utiliser une série de tests de rapports de vraisemblance pour vérifier si l’apport de chaque variable indépendante contribue à améliorer significativement le modèle. Cette approche correspond à une analyse de type 3, comme nous l’avons mentionné dans la section 8.2.4 pour le modèle logistique multinomial.

9.4.1.3 Bootstrapping

L’approche par bootstrapping (parametric-bootstrap ou semi-parametric-bootstrap) permet de calculer, pour les différents paramètres d’un modèle, un intervalle de confiance. L’idée étant de réajuster un grand nombre de fois le modèle sur des sous-échantillons de données pour saisir la variabilité des différents paramètres du modèle. Si les intervalles de confiance ainsi construits ne comprennent pas de zéro, il est possible de dire que cet effet est significatif. À nouveau, cette méthode n’est valide que si le jeu de données comporte suffisamment d’observations. L’intérêt de cette approche est qu’elle ne postule pas d’hypothèse sur la distribution des paramètres qui ont la fâcheuse tendance à ne pas suivre une distribution normale dans le cas des GLMM. Elle est d’ailleurs considérée comme la plus robuste bien que coûteuse en termes de temps de calcul.

9.4.2 Inférence pour les effets aléatoires, effet global

Pour déterminer si un effet aléatoire est significatif dans un modèle, il est recommandé d’utiliser un test de rapport de vraisemblance entre un modèle sans l’effet aléatoire et un modèle avec l’effet aléatoire. L’analyse des différences entre les valeurs de déviance, l’AIC et le BIC peut également aider à déterminer si l’ajout de l’effet aléatoire est justifié. Il est également possible de considérer les valeurs de l’ICC et du R2 conditionnel. Notez ici que si vous avez une très bonne raison théorique d’ajouter l’effet aléatoire dans votre modèle et suffisamment d’observations / groupes pour l’ajuster, il peut être pertinent de laisser l’effet aléatoire dans le modèle même si tous les indicateurs mentionnés précédemment indiquent qu’il contribue faiblement au modèle. Le retirer risquerait en effet de donner l’impression que les autres paramètres du modèle sont plus significatifs qu’ils ne le sont en réalité.

Notez que l’approche par bootstrapping décrite pour les effets fixes peut aussi être utilisée ici pour obtenir un intervalle de confiance pour l’ICC, le R2 conditionnel et les différents paramètres de variance et covariance.

9.4.3 Inférence pour les effets aléatoires, des constantes et des pentes

Pour rappel, dans l’approche fréquentiste présentée ici, les valeurs des constantes et des pentes aléatoires ne sont pas à proprement parler des paramètres du modèle : elles sont estimées à posteriori (BLUP). Pour déterminer si ces constantes et des pentes sont significativement différentes de zéro et significativement différentes les unes des autres, il est possible de calculer les intervalles de confiance de chacune d’entre elles par bootstrap, par profilage ou par simulation à partir du modèle. Si la constante du groupe j a zéro dans son intervalle de confiance, nous pouvons alors déclarer que le groupe j en question ne semble pas varier du reste de la population en termes de moyenne. Si la pente l du groupe j a zéro dans son intervalle de confiance, nous pouvons alors déclarer que le groupe j en question ne semble pas varier du reste de la population pour l’effet l. Notez que la méthode par simulation est bien plus rapide que les deux autres, mais que l’approche par bootstrapping reste la plus fiable.

Références

Bolker, Benjamin M, Mollie E Brooks, Connie J Clark, Shane W Geange, John R Poulsen, M Henry H Stevens et Jada-Simone S White. 2009. « Generalized linear mixed models: a practical guide for ecology and evolution ». Trends in ecology & evolution 24 (3): 127‑135. https://doi.org/10.1016/j.tree.2008.10.008.