4.2 Covariance

4.2.1 Formulation

La covariancecovariance (équation (4.1)), écrite \(cov(x,y)\), est égale à la moyenne du produit des écarts des valeurs des deux variables par rapport à leurs moyennes respectives :

\[\begin{equation} cov(x,y) = \frac{\sum_{i=1}^n (x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})}{n-1} = \frac{covariation}{n-1} \tag{4.1} \end{equation}\]

avec \(n\) étant le nombre d’observations; \(\bar{x}\) et \(\bar{y}\) (prononcez x et y barre) étant les moyennes respectives des variables X et Y.

4.2.2 Interprétation

Le numérateur de l’équation (4.1) représente la covariationcovariance, soit la somme du produit des déviations des valeurs \(x_{i}\) et \(y_{i}\) par rapport à leurs moyennes respectives (\(\bar{x}\) et \(\bar{y}\)). La covariance est donc la covariation divisée par le nombre d’observations, soit la moyenne de la covariation. Sa valeur peut être positive ou négative :

• Positive quand les deux variables varient dans le même sens, c’est-à-dire lorsque les valeurs de la variable X s’éloignent de la moyenne, les valeurs de Y s’éloignent aussi dans le même sens; et elle est négative pour une situation inverse.
• Quand la covariance est égale à 0, il n’y a pas de relation entre les variables X et Y. Plus sa valeur absolue est élevée, plus la relation entre les deux variables X et Y est importante.

Ainsi, la covariance correspond à un centrage des variables, c’est-à-dire à soustraire à chaque valeur de la variable sa moyenne correspondante. L’inconvénient majeur de l’utilisation de la covariance est qu’elle est tributaire des unités de mesure des deux variables. Par exemple, si nous calculons la covariance entre le pourcentage de personnes à faible revenu et la densité de population (habitants au km²) au niveau des secteurs de recensement de la région métropolitaine de Montréal, nous obtenons une valeur de covariance de 33 625. En revanche, si la densité de population est exprimée en milliers d’habitants au km², la valeur de la covariance sera de 33,625, alors que la relation linéaire entre les deux variables reste la même comme illustré à la figure 4.3. Pour remédier à ce problème, nous privilégions l’utilisation du coefficient de corrélation.

Figure 4.3: Covariance et unités de mesure